Domaines de Recherche

Mon domaine de recherches d'origine est la géométrie des ensembles convexes en dimension finie et en particulier l'étude du volume des sections et des projections des convexes. Ensuite, je me suis intéressé aux extensions de ces questions à d'autres mesures que la mesure de Lebesgue, les mesures convexes, qui comprennent en particulier les mesures log-concaves comme la mesure gaussienne et aux propriétés de concentration et inégalités fonctionnelles (Poincaré, Log-Sobolev, ...) satisfaites par ces mesures. Plus récemment, j'ai étudié les liens entre les notions classiques de convexité et des questions venant de la théorie de l'information, liées à l'entropie de Shannon. Enfin, je me suis rapproché ces dernières années de collègues du laboratoire d'informatique travaillant en géométrie discrète et nous explorons ensemble des questions liées aux polytopes aléatoires et aux epsilon-nets. Ainsi mes centres d'intérêt mathématique comprennent :

- la géométrie des convexes classique avec les inégalités de Brunn-Minkowski et d'Alexandrov-Fenchel sur les volumes mixtes des convexes, les conjectures de Mahler sur le produit volumique des convexes, les méthodes de symétrisation.

- l'étude d'inégalités géométriques et de leurs versions fonctionnelles, par exemple l'inégalité de Prékopa-Leindler, les inégalités sur les marginales d'un vecteur aléatoire uniformément distribué sur un convexe, les inégalités de type Cheeger, Poincaré et log-Sobolev, leur lien avec la concentration, les méthodes de semi-groupe de type calcul $\Gamma_2$ de Bakry-Emery.

- les méthodes de localisation, le comportement de la mesure d'ensembles convexes pour des mesures convexes, le cas particulier des mesures log-concaves et de la mesure gaussienne, les inégalités de concentration de la mesure, les inégalités sur la mesure des petites boules, les inégalités de Kahane-Khintchine, les inégalités de type Remez sur des ensembles de niveaux de polynĂ´mes.

- les liens avec la théorie de l'information, les inégalités portant sur l'entropie de Shannon et l'information de Fisher de type Blachman-Stam.

- L'étude des polytopes aléatoires et des relations entre corps flottants et epsilon-nets.