On differentiable compactifications of the hyperbolic space

Transformation Groups 11 (2006), no. 2. pdf.

Il existe deux modèles très connus du plan hyperbolique : celui de Poincaré et celui de Klein. Si l’on considère l’action par isométrie de SL(2;R) dans ces deux modèles, on s’aperçoit qu’on peut la prolonger par continuité en une action toujours analytique sur le disque fermé. Mais il se trouve que de nombreux autres modèles, méconnus, partagent cette propriété. Dans cet article je décris toutes les compactifications différentiables et analytiques de l’espace hyperbolique réel en dimension au moins 3.

Tous ces modèles sont obtenus à partir du modèles de Klein et sont numéroté en fonction du degré de tangence des géodésiques asymptotes : le premier modèle est celui de Klein, le deuxième celui de Poincaré. Pour plus de détails on peut consulter l’introduction et les sections 1.1 à 1.4 de mon rapport de DÉA.

Dans les images suivantes, on a dessiné des géodésiques en noir et des horosphères en rouge, le bord étant indiqué par un trait épais.

Disque de Klein

Disque de Klein

Disque de Poincaré

Disque de Poincaré

Troisième modèle

Troisième modèle

Quatrième modèle

Quatrième modèle

Trentième modèle

Trentième modèle

Comparaison des géodésiques

Comparaison des géodésiques

Comparaison des horosphères 1

Comparaison des horosphères 1

Comparaison des horosphères 2

Comparaison des horosphères 2

Comparaison des horosphères 3

Comparaison des horosphères 3