Optimal transport and dynamics of expanding circle maps acting on measures

Ergodic Theory and Dynamical Systems 33(2), 2013 p. 529-548

Article en pdf (Ceci est la version consolidée intégrant la correction d’une erreur dans le lemme 4.2 et une nouvelle application, à une version infinitésimale de la conjecture de Furstenberg qui paraîtrons également à ETDS.)

J’utilise le transport optimal pour étudier l’action sur les mesures des applications dilatantes du cercle. Le principal résultat est le calcul de la différentielle de cette application en l’unique mesure invariante absolument continue. Pour la définir, je me place dans le cadre différentiel proposé par Gigli. On constate que 1 est une valeur propre de dimension infinie, de sorte que la mesure invariante se déforme de nombreuses façons en mesures presques invariantes.

Une conséquence assez surprenante de cette étude est qu’une version infinitésimale de la célèbre conjecture de Furstenberg est fausse : on peut trouver des directions (de déformations de la mesure de Lebesgue) simultanément invariantes pour toutes les multiplications par des entiers modulo 1. Ceci n’invalide toutefois pas la conjecture elle-même, l’invariance n’étant vraie qu’au premier ordre pour les mesures construites.

Je montre également que cette action sur les mesures a une dimension moyenne métrique positive dans le cas des applications à dérivée constante.