A geometric study of Wasserstein spaces: ultrametrics

Mathematika 61-01 (2015), p. 162-178.

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On étudie la géométrie de l’espace de Wasserstein (c’est-à-dire un espace de mesures de probabilité à décroissance rapide, muni d’une distance par la théorie du transport optimal) des espaces ultramétriques compacts.

La forte structure imposée par l’ultramétricité nous permet de donner une formule relativement simple à manipuler pour la distance de Wasserstein entre deux mesures. On en déduit que l’espace de Wasserstein se plonge isométriquement dans 1 muni d’une puissance de sa métrique habituelle.

Le théorème du squelette ultramétrique de Mendel et Naor nous permet ensuite d’utiliser cette formule pour obtenir une estimation assez précise de la « taille » de l’espace de Wasserstein d’un espace métrique compact général (non nécessairement ultramétrique). On donne également une deuxième démonstration de ce résultat, plus élémentaire mais moins susceptible d’être généralisée.

Enfin, on est amené à donner un exemple intéressant indépendamment des considérations de transport optimal : un espace métrique de dimension de Minkowski positive, dont tout fermé propre est de dimension de Minkoswksi inférieure nulle.