Curvatures and anisometry of maps

Communications in Analysis and Geometry Volume 23, Number 2, 319–348 (2015).

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On sait que la courbure est un invariant métrique, donc une application entre variétés de courbures différentes ne peut pas être une isométrie. Dans cet article, je démontre plusieurs inégalités qui quantifient ce phénomène.

Les résultats sont de la forme suivante : on se donne une variété de départ M dont la courbure (de Ricci) est minorée par κ, une variété d’arrivée N dont la courbure (sectionnelle) est majorée par un ρ < κ ou qui satisfait une contrainte géométrique de même type ; alors les applications définies sur une boule métrique de M à valeurs dans N ont leur « anisométrie » (qui mesure le défaut à être une isométrie) minorée par l’anisométrie d’une application modèle entre variétés à courbures constantes κ et ρ. En ajoutant des contraintes sur les applications considérées (conformes, quasiconformes ou préservant le volume) on obtient des inégalités plus fortes du même type.

Les méthodes font intervenir des théorèmes de comparaison classique et des inégalités isopérimétriques. Elles permettent également d’obtenir une version du Lemme de Schwarz-Pick-Ahlfors en grande dimension proche de ce qui se trouve dans la littérature, mais qui ne semble pas explicitement écrite.