The calculus of thermodynamical formalism

En collaboration avec Paolo Giulietti, Artur O. Lopes et Diego Marcon Farias. Accepté au Journal of the European Mathematical Society.

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Étant donné un système dynamique T : Ω → Ω tel que chaque point a un nombre fini d’antécédents, et un « potentiel » A : Ω → ℝ, on peut construire un opérateur de transfer agissant sur les fonctions par


A(f)(x) = ∑T(y) = x eA(y)f(y).

Une propriété centrale de ces opérateur est le théorème de Ruelle-Perron-Frobenius, qui dit que dans certains cas A a une unique valeur propre de plus grand module, qui est réelle positive, simple et séparée en module du reste du spectre. Une littérature fournie s’attache à démontrer ce résultat pour de nouvelles familles de systèmes dynamiques ou à en tirer des conséquences.

Cet article appartient à la deuxième catégorie en revisitant et généralisant des questions plus ou moins classiques. Le point de départ est de montrer que (sous de bonnes hypothèses) l’ensemble des potentiels normalisés, i.e. tels que A(1) = 1, forme une sous-variété analytique réelle de l’espace des potentiels. À partir de là, on obtient facilement de nombreuses propriétés de régularité de quantités naturelles, des expressions pour leurs dérivées, et on ramène des questions d’optimisation (existence et unicité des mesures d’équilibre par exemple) ou de prescription de valeurs d’intégrales à du simple calcul différentiel.