Geometry on the Utility Space

En collaboration avec François Durand, Fabien Mathieu et Ludovic Noirie, accepté à ATD 2015: Fourth International Conference on Algorithmic Decision Theory.

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Cet article relie de la géométrie Riemannienne classique du dix-neuvième siècle et l’étude moderne des modes de scrutins.

Le théorème de von Neuman-Morgensten justifie la représentation des préférences d’électeurs par des vecteurs d’utilité (l’utilité donné par un électeur à un candidat représentant la force de sa préférence pour le candidat) modulo ajout d’un scalaire et multiplication par un scalaire strictement positif. Ainsi, l’espace des utilités est topologiquement une sphère si l’on néglige le vecteur nul (représentant une indécision totale de l’électeur). Une question naturelle est de déterminer quelle mesure de probabilité sur cette sphère choisir comme référence, comme « mesure uniforme » (si l’on veut par exemple étudier les préférences d’électeurs dans une population réelle, cela permet de comparer la distribution des vecteurs d’utilité à cette mesure). Le problème est que la structure mathématique naturelle sur la sphère des utilités est une structure projective, donc n’admet aucune mesure invariante par tous ses automorphismes.

Nous montrons dans cet article que la métrique ronde héritée de l’espace euclidien est la seule à vérifier une condition naturelle de compatibilité avec l’interprétation en terme de préférences des vecteurs d’utilité, nous amènenant à appuyer l’usage de la mesure Riemannienne de cette métrique comme mesure de référence. L’ingrédient principal de la démonstration est le théorème de Beltrami suivant lequel toute métrique sur une variété munie d’une structure projective, pour laquelle les droites projectives sont des géodésiques, doit être de courbure constante.