The linear request problem

Article en pdf Proceedings of the American Mathematical Society 146-7 (2018), pp 2953-2962.

Dans cet article je m’intéresse à un problème introduit récemment par Galatolo et Pollicott, que je propose de nommer la « requête linéaire » : on se donne une application suffisamment lisse sur une variété compacte, préservant une mesure absolument continue de densité régulière, et on se demande si on peut perturber l’application au premier ordre de façon à préserver une mesure à densité régulière qui soit une variation prescrite de la mesure invariante initiale.

Je donne une réponse positive forte à cette question, en montrant qu’il existe toujours une infinité de solutions à ce problème, même en se restraignant à des familles de conjuguées de l’application initiale. Le résultat est valide sans hypothèse dynamique particulière.

La méthode consiste en traduisant au premier ordre l’action d’un flot sur les applications (par conjugaison) et les mesures (par poussé en avant). Cette deuxième action est fournie par l’équation de continuité, bien connue en transport optimal.