Effective high-temperature estimates for intermittent maps

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Le formalisme thermodynamique, qui permet à travers l’étude de l’opérateur de transfert associé à chaque « potentiel » d’étudier en détail une famille importante de mesures invariantes, est bien compris pour les applications dilatantes et les potentiels suffisamment réguliers: on montre que l’opérateur de transfert a un trou spectral, et de nombreuses conséquences statistiques s’ensuivent.

Dans le cas d’applications non-uniformément dilatantes, on sait que certains potentiels importants ne donnent pas de trou spectral à leur opérateur de transfert (Hu 2004, Sarig 2002), mais qu’un trou spectral apparaît pour les potentiels suffisamment proches d’être constants (Castro-Varandas 2013). Le but de cet article est de donner une première borne explicite sur la place de la transition entre ces deux comportement. On montre en particulier que pour toute application de Pommeau-Manneville, il y a trou spectral au moins pour les potentiels de constante de Lipschitz au plus 0,0014; et pour les applications unimodales surjectives, il y a trou spectral au moins pour les potentiels de variation totale au plus 0,0069.

La méthode consiste à utiliser la perturbation des opérateurs, qui permet de se ramener à montrer le trou spectral pour les potentiels constants; une version quantitative développée dans Effective perturbation theory for linear operators permet d’obtenir les bornes explicites.