Mixed sectional-Ricci curvature obstructions on tori

Travail en commun avec Stéphane Sabourau

Article en pdf, à paraître au Journal of Topology and Analysis.

De nombreux résultats classiques montrent que certaines variétés compactes n’admettent pas de métrique riemannienne vérifiant certaines conditions de courbure. Par exemple, le théorème de Cartan Hadamard montre que l’existence d’une métrique à courbure sectionnelle négative implique que le revêtement universel est n, et le théorème de Bonnet-Myers montre que la présence d’une métrique à courbure de Ricci strictement positive implique un groupe fondamental fini. Quelque peu curieusement, les bornes supérieures sur la courbure de Ricci ne donnent aucune information: Lokhamp a montré que toute variété compacte admet une métrique à courbure de Ricci strictement négative.

Nous montrons dans cet article que sur le tore (ainsi que certaines généralisations, par exemple la somme connexe d’un tore et d’une variété simplement connexe), il n’existe aucune métrique dont les courbures sectionnelles et de Ricci sont toutes les deux bornée par au-dessus par des constantes du même ordred, positives et négatives du respectivement. Autrement dit, les métriques à courbure de Ricci suffisamment négative ont forcément à un endroit de la courbure sectionnelle significativement positive. Toutes les constantes sont explicites et ne dépendent que de la dimension (après normalisation par le diamètre).

L’idée consiste à combiner l’argument de Milnor sur la croissance du groupe fondamental et l’inégalité de Günther généralisée démontrée avec Greg Kuperberg. Pour cela nous avons besoin de rendre très quantitatifs l’argument de Milnor, et nous démontrons dans ce but un résultat indépendant: tout tore riemannien admet un revêtement dont le diamètre n’est pas beaucoup plus grand, pour lequel la fonction de déplacement et la norme stable (définie sur le premier groupe d’homologie réelle) ne diffèrent que d’une constante explicite, dépendant de la dimension et du diamètre.