Empirical measures: regularity is a counter-curse to dimensionality

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Dans cet article je considère la convergence « en dualité » de la mesure empirique d’une suite de variables aléatoires, notamment dans le cas d’une chaîne de Markov qui est géométriquement contractante (par exemple un chaîne de Markov à courbure de Ricci-Ollivier positive). L’article pousuit deux buts principaux.D’une part, j’introduis une méthode s’appuyant sur une décomposition fonctionnelle arbitraire (séries de Fourier, ondelettes, …) pour contrôler la convergence de la mesure empirique vers la mesure stationnaire. D’autre part, j’observe que la convergence peut être très rapide si les observables utilisées pour définir la convergence sont assez régulière, comparé à la dimension.