Construction de l'ellipse ou l'hyperbole avec un cercle

On peut construire une conique Σ comme le lieu des points situés à égale distance d'un foyer F et d'un cercle centré en F' et de rayon R. Si F est à l'intérieur du cercle (FF' < R) on obtient une ellipse, sinon une hyperbole.
En effet soit M un point de Σ et N l'intersection du cercle avec le rayon [F' M). Alors la distance de M au cercle est égale à MN. Or par hypothèse MN=MF donc M est sur la médiatrice de [F;N] (d'où une construction aisée de Σ). Enfin FM+MF'=NM+MF'=R. Réciproquement quand les deux foyers et le sommet A sont fixés, cela donne le rayon R=FA+F'A=2a.
La médiatrice est aussi la tangente. Par convexité de Σ il suffit de montrer que la tangente touche Σ en M uniquement. En effet, soit P un point de la médiatrice ; comme PF=PN, on a F'P+FP=F'P+PN ≤ F'N=R. L'égalité n'arrivant que si F',P,N sont alignés, autrement dit P=M. Les raisonnements sont identiques pour l'hyperbole, en changeant les signes.

Utilisation : déplacer les points bleus :
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Construction de l'ellipse ou de l'hyperbole par foyer et directrice

On se donne le foyer F et K le projeté orthogonal de F sur la directrice. L'excentricité est e = AF/AK, la projection C du point courant P permet de déplacer ce dernier (dans le demi-plan le plus proche de la directrice (K C)).
  1. Commençons par construire le centre de l'ellipse O et, partant, le second foyer F', en remarquant que OF = e OA. (On peut aussi définir O  de cette façon pour faire la construction, et vérifier après qu'il s'agit du centre.) Il nous faut un triplet de points alignés avec ces mêmes rapports de longueur (algébriques). Soit Q le symétrique de A par rapport au milieu de [K,F]. Alors FA = e FQ. En choisissant un point courant C sur la directrice, on construit la parallèle  à l'axe focal (AF) et les projetés orthogonaux D,E,G de F,A,Q sur celle-ci. Par le théorème de Thalès les droites (AG), (FE) et (OD) (en pointillé) sont parallèles ou concourantes, ce qui permet de construire O, puis F', et enfin le sommet symétrique A'.
  2. On détermine maintenant les points de l'ellipse P,N situés sur la même droite (parallèle à (AF) et passant par le point C de la directrice). Comme P satisfait PF = e PC, il appartient à un cercle dont un diamètre est [M,L]M,L sont les barycentres de F,C avec les poids respectifs (1,e) et (1,-e). On les obtient comme intersections de (FC) avec les parallèles à la directrice passant par A et A' respectivement (Thalès encore). L'intersection du cercle avec donne les points P,N.
  3. Les tangentes au cercle en P et N sont aussi tangentes à l'ellipse.
On peut manipuler les points bleus A,K et C. Changer C permet de changer le point courant P (tant que C ne s'éloigne pas trop de K). Varier A change l'excentricité et bouger K revient à changer l'échelle. Attention si A dépasse le milieu de [F,K] on obtient une hyperbole et plus une ellipse. Mais le raisonnement est identique. Un quart de la conique est tracé en rouge.

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Fichiers GeoGebra associés : construction via un cercle et construction par foyer et directrice.

Pascal Romon, 15 octobre 2009, Créé avec GeoGebra