Page de couverture

Introduction à la géométrie différentielle discrète

Aux éditions Ellipses, collection Références Sciences.

La géométrie différentielle discrète fait la synthèse entre l’approche classique des courbes et surfaces et celle discontinue des polyèdres et triangulations. Le présent ouvrage présente les bases de cette théorie et introduit les concepts discrets de courbure, défaut angulaire, flot par courbure moyenne, lignes de courbure principales, opérateurs différentiels divergence et rotation, surfaces parallèles et offsets, avec des applications en traitement d’images 3D et en architecture.

Il s’adresse aussi bien aux étudiants de master, élèves-ingénieurs, qu'aux ingénieurs et chercheurs, sans prérequis autre que la géométrie du plan et de l’espace. Toutes les notions complémentaires sont redéfinies au fur et à mesure, avec comme objectif qu'après ce livre le lecteur puisse aborder les articles de recherche les plus pointus et les plus récents.



Extrait du livre : le chapitre II Surfaces et polyèdres.

Et quelques errata.





Table des matières

  1. Courbes discrètes planes
    1. Courbes discrètes et variation angulaire
    2. Cercles osculateurs discrets
    3. La courbure comme variation de la longueur
    4. Convergence et approximation
    5. Flot par la courbure

  2. Surfaces et polyèdres
    1. Combinatoire des surfaces discrètes
    2. Orientation et topologie
    3. Géométrie intrinsèque: le défaut angulaire
    4. Courbure géodésique
    5. Géométrie extrinsèque
    6. Convergence et approximation
    7. 6.1 Influence du degré du sommet
      6.2 Le problème de l’approximation quadratique
      6.3 Lanterne de Schwarz (ou vénitienne)

  3. Le flot par courbure moyenne appliqué au débruitage et au lissage
    1. Lissage et débruitage
    2. Courbure moyenne et variation de l’aire
    3. Courbures et directions principales
    4. Flot par courbure moyenne
    5. Flot anisotrope et par courbure moyenne prescrite

  4. Calcul différentiel et remaillages
    1. Topologie des surfaces
    2. 1.1 Formes différentielles et simple connexité
      1.2 Coupures et intégration
      1.3 Surface duale et caractéristique d’Euler
    3. 2 Opérateurs différentiels métriques
      2.1 Vecteurs tangents et fonctions PL
      2.2 Gradient et rotationnel
      2.3 Divergence et gradient conjugué
      2.4 Décomposition de Hodge–Helmholtz
      2.5 Laplacien et fonctions harmoniques
    4. Application : le remaillage par courbures principales
      3.1 Les maillages quadrangulaires
      3.2 Quadrillage local
      3.3 Courbure et revêtements
      3.4 Lignes de niveau et cartes affines projetées
      3.5 Obstructions topologiques et métriques
    5. Extensions possibles

  5. Maillages quadrangulaires et offsets
    1. Géométrie discrète et architecture
    2. Surfaces parallèles et offsets
    3. Axes nodaux et image de Gauss
    4. Maillages circulaires
    5. Maillages coniques
    6. Polyèdres de Koebe
    7. Courbures relatives
    8. Quadrillages conjugués (Q-nets)
    9. Optimisation des maillages
    Annexes
  1. Géométrie différentielle
    1. Courbes planes
    2. Surfaces de l’espace
      2.1 Immersions et coordonnées
      2.2 Sections planes et courbures
      2.3 Courbure géodésique et Gauss-Bonnet

  2. Géométrie sphérique
    1. Cercles et polygones sphériques
    2. Transformations de Möbius

  3. Géométrie affine et éléments finis
    1. Fonctions affines et barycentres
    2. Éléments finis

  4. Triangulation de Delaunay
    Solutions des exercices

    Bibliographie

    Index